雷世恒+++李淑清
摘 要：利用模糊控制方法对一阶倒立摆进行了控制。利用Matlab对线性矩阵不等式方法控制的算法模型进行了仿真，并从中提取数据用于模糊控制。在模糊控制方法[1]中，设计了一种模糊集长度从两侧至中间递减的模糊集，并针对不同模糊数量时的控制结果进行了仿真对比，最后，对比了不同模糊控制方法的响应曲线及效果分析。
关键词：模糊控制；控制参数；置信度；响应曲线
1 方法概述
一阶倒立摆为双输入单输出控制系统，输入量为角度及角速度，输出量为力，用于调整摆的角度。本文使用经典的Mamdani模糊系统[2]。输入采用三角形模糊器[3]，采用中心解模糊器构造模糊系统[4]。用于规则提取的数据来源于T-S fuzzy模糊控制[5]。
2 参数提取
由Matlab仿真得到用于提取规则的参数，该方法使用线性矩阵不等式，求解控制参数。采集该方法的控制量、角速度及角度，采集时要保证采集数据的范围足够广阔，避免出现置信度很低的规则。求解线性方程组，得到仿真数据，为保证数据的范围足够广，要多次修改初值以确保提取大量的数据。
3 创建模糊集
本文设计的模糊划分是非等距的对称三角形模糊划分，中间点距离近，两侧节点距离大。模糊划分的论域为：训练数据的最大绝对值的1.01倍。模糊集的设计思路如下：以7个模糊集为例，产生7个模糊集需要在X轴坐标上设计9个点，从左向右，依次每4个点生成一个模糊集，4个点中的2、3两点重合。因此，设计模糊集的任务就变成了设计X轴上的9个坐标点，设计方式如图1所示：
图1中仅仅画出坐标轴正半轴，负半轴部分将与正半轴部分对称。从图中可以看出，由坐标点所截出的相邻线段的长度之差为d，针对这种划分方式，可以抽象出计算坐标点的公式，如下：
其中，L表示X轴正方向上的模糊集的长度，N为设计的模糊集数量。根据计算得到的d，计算每个点的坐标值。生成节点后，利用节点生成模糊集。
利用FuzzPara函数，输入需要的模糊集数量，并以提取到的数据的1.01倍作为模糊集的边界，生成模糊集。
4 提取规则
规则提取首先需要对训练数据进行模糊化，并利用三维矩阵的思路完成规则的提取。利用trimf函数将训练数据在每一个模糊集的三角形隶属函数下模糊化，并扩充成一维数组。在计算好3个模糊化的数组后，采用乘积推理机[6]的思路：
Ri（x1，x2，y）=（Ai1（x1）·Ai2（x2））·Bi（y）
上式为向量乘法，结果是一个三维矩阵，这个矩阵的意义在于：矩阵中大部分数据为零，小部分数据非零，非零数据表示三个输入数据的模糊关系的强弱，接近1表示模糊关系强，非零数据的三维坐标表示所对应的三个模糊集在模糊划分中的位置。
对全部输入数据進行计算，每次都得到一个三维矩阵，将先后两次计算得到的矩阵中，对应位置的元素进行比较，并保留最大值。对最终得到的三维矩阵下降成2个2维矩阵。最终将得到2个二维矩阵，一个矩阵表示关系的强弱，另一个二维矩阵为规则表。
这个规则表示2个输入1个输出的关系规则，表中数字表示模糊划分中的一个模糊集的位置坐标。实际上，在后文用到的规则表中，用到的是三角形隶属函数的顶点坐标信息，因此需要将表中的坐标信息转换成对应的隶属函数峰点数值。
5 控制器设计
控制器的主要任务是输入数据的模糊化，进行模糊推理，去模糊化，所采用的模糊化方法为三角形模糊化方法，去模糊化使用中心法。同样使用trimf函数进行模糊化，并将得到的隶属度顺序扩充成向量。根据中心法去模糊化的方法：
用向量和矩阵操作很容易可以实现这个公式，将输入数据模糊化得到的两个向量相乘，得到一个二维矩阵，Zij表示隶属函数的峰点，因此将二维矩阵与峰点规则表对应位置相乘即可，并对得到的矩阵的全部元素求和，分子部分就计算完成。分母分的计算类似。利用这个公式去模糊化得到的结果为控制量。
6 结果对比分析
在本部分进行了一系列对比仿真，主要包括：7模糊集、13模糊集、19模糊集、25模糊集、33模糊集情况下，一阶倒立摆的仿真结果。如图2、图3和图4所示，从仿真结果可以明显看出，在模糊集数量越少时，控制效果越差，尤其是角速度曲线，出现了明显的衰减的震荡，角度曲线这种状况不明显。理论上，这种现象是由于在模糊集原点附近，模糊集划分不够细致所导致。通过增多模糊集数量后来减弱这种现象，当模糊集增加到19个时，角速度曲线波动幅度非常小。另一方面，由于模糊集增多，算法的计算量相应地迅速增加。在实际应用中，过多的模糊集可能会导致不能满足实时性的要求，因此，需要权衡考虑。并且从图4和图5中可以看出，在模糊集数量达到一定程度后，如果继续增加模糊集的数量，实际上起到的效果已经不明显，也说明模糊集的数量不是越多，效果就越好。
图5给出了19模糊集控制与T-S控制的曲线对比。其中，实线为模糊控制曲线，可以看出模糊控制曲线响应更快一些，相比之下，T-S控制曲线更平滑，另外，对于算法的运算量，本文并未进行实验，但是通过对代码的简单分析，可以发现，T-S控制器的运算量是远小于模糊控制的，这一点利于实际应用。
7 结束语
本文利用模糊控制方法对一阶倒立摆进行了控制。并且得到了与T-S控制算法的近似的控制曲线。对比结果表明，模糊集的数量的增加可以提升控制效果，但是，并不是模糊集数量越多控制效果越好。在模糊集数量达到一定的数量后，如果继续增加模糊集，将大幅度增加算法计算量，其仿真结果的提升程度却不明显。同时，发现用于提取规则的数据集合十分关键，只有提取出置信度高的规则矩阵才能达到控制效果。因此，数据集合一定要有代表性，能够代表可能出现的全部状况。此外，根据仿真过程中的现象，可以推测模糊集的形状，对控制效果应该也是有影响的。
参考文献
[1]王述彦，师宇，冯忠绪.基于模糊PID控制器的控制方法研究[J].机械科学与技术，2011.
[2]阮俊瑾，丁肇红.基于Mamdani分离变量法的倒立摆模糊控制系统设计[J].上海应用技术学院学报（自然科学版），2008.
[3]王宏志，陶玉杰，王贵军.基于三角形模糊数的非线性T-S模糊系统的峰值点和分量半径优化[J].浙江大学学报（理学版），2016.
[4]张钊.模糊系统的推理及其稳定性分析[D].天津大学，2004.
[5]王宁，孟宪尧.输入采用一般模糊划分的T-S模糊控制系统稳定性分析[J].自动化学报，2008.
[6]游文虎，王茂，施佳.PIE+MOM的Mamdani模糊系统通用逼近性充要条件[J].哈尔滨工业大学学报，2014.
