张弛+++王向东
摘 要：现有的航空发动机变增益控制器设计多将非线性系统表述为仿射参数依赖形式的LPV系统，在工作状态变化对系统参数特性变化影响较大的情况下存在精确度和保守性问题。为此，提出一种将被控对象表述為更精确的参数多项式依赖形式的LPV模型，并基于多项式平方和规划方法和切换控制相结合，进行鲁棒变增益控制器综合。这种方法考虑航空发动机高压转子转速大范围变化情况，在不同设计点设计具有公共Lyapunov函数的子系统控制器，再根据gap-metric计算子系统间广义距离进行切换控制，从而保证发动机在不同高度和马赫数下都具有良好的控制效果。仿真实验表明，在航空发动机不同转速下，都具有良好的性能和控制精度，并能够实现在包线内不同高度和马赫数下，有效对目标进行变增益控制。
关键词：航空发动机；LPV系统；多项式平方和规划；切换控制；鲁棒变增益控制
引言
航空发动机具有高度的非线性特性，同时系统的参数和工况变化范围大，系统特性也随之不断变化[1]。对于非线性系统来说，工程上现阶段广泛利用基于线性变参数（Linear-Parameter-Varying，LPV）的变增益控制方法进行控制器综合，LPV系统是一种能有效表征系统动态参数大范围变化的参数时变系统，同时可以采用线性鲁棒控制原理进行控制器分析与综合[2-3]。
随着鲁棒控制理论和Lyapunov稳定性理论的发展，愈来愈多的可以表述成多项式模型的非线性被控对象控制问题可以转化为多项式平方和（sum of squares，SOS）规划问题[4-5]。SOS方法所形成的数值计算方法可以用于可行性问题和优化问题的求解，在处理多项式形式非线性问题上对LMI方法进行了补充[6]。因此将其用在LPV系统增益调度相关领域研究具有便于求解和提高精度等优势。SOS方法可以通过Matlab来实现求解，Parrilo等人基于判断多项式函数是否允许平方和分解等相关问题，以此开发了SOSTOOLS工具箱，可以直接处理多项式非线性系统，同时所获得的控制器是状态变量的有理函数，方便在工程中进行实现。传统的LPV控制器综合方法将模型描述为仿射参数依赖模型或多胞模型，采用二次Lyapunov函数方法通过求解线性矩阵不等式（Linear matrix inequality，LMI）来保证稳定性。针对航空发动机高压转子转速变化范围较大且对系统参数影响剧烈的情况如过渡状态，发动机推力迅速变化以满足飞行要求，此时发动机不再适合表述成仿射参数依赖形式，而需要表述为多项式参数依赖形式来提高模型精确度。此时仍采用处理仿射参数依赖形式模型的LMI方法必定对控制器综合带来较高的保守性[7]。
本文针对上述缺点，采用将有界实引理和多项式平方和规划相结合的方法，直接对多项式进行处理，无需将发动机LPV模型转换成仿射参数依赖模型，这大大减小了控制器求解过程的保守性同时提高了模型精确度，得出发动机控制系统鲁棒稳定的SOS约束，所获得的单点控制器具有更好控制精度和鲁棒性。考虑到航空发动机运行包线宽广，不同高度和马赫数下其系统特性也具有差异，针对这个问题本文采用在多个设计点设计子控制器，利用Matlab中的gap-metric计算实际工作点和设计点的间隙度量，间隙度量能够表述两个受控系统之间的差异程度，因此根据工作点与设计点子系统的差异程度进行控制器切换可以有效提高控制精度。设计子系统控制器的同时，利用SOS方法在子系统具有公共Lyapunov函数的情况下进行控制器的数值求解，这样对保证系统切换的稳定性进行了保证，最终将其应用到某型小涵道比涡扇发动机模型进行仿真验证。
1 问题描述
考虑如下形式的状态变量LPV系统
式中，xp∈Rn是对象状态变量，yp∈Rn为测量输出，up∈Rk为系统的控制量，？兹∈Rj为随时间连续变化的实时可测调度参数，系统矩阵Ap（？兹）和Bp（？兹）是关于？兹的多项式矩阵。
给定控制指令为r∈Rm，系统输出偏差e定义为e=r-yp，为了消除稳态误差，将其积分xe=e增广为系统的状态变量。
给出航空发动机控制系统结构图如图1。
上述被控对象的控制器设计问题可以描述为：针对各设计点的闭环子系统多项式形式模型，构建多项式平方和约束，在各子系统具有公共Lyapunov函数的前提下求解出子控制器K12i（？兹）使得在各个转速下都能够保证闭环子系统的稳定并满足H∞性能指标？酌。同时计算工作点和设计点的gap度量进行控制器切换，使得发动机在不同高度马赫数下都具有良好的性能。
2 多项式平方和规划控制器综合
针对本文所描述的多项式形式LPV系统，将多项式平方和方法和二次稳定理论相结合，将控制器求解问题转化为求解多项式约束问题。
引理1（有界实引理[8]）对于控制子系统的传递矩阵Gi（S）=（Ai，Bi，Ci，Di），存在下列相互等价的条件：
（1）矩阵Ai稳定，且系统的传递函数矩阵Gi（S）满足||Gi||∞<？酌。
（2）存在一个对称的正定矩阵X，能够使以下矩阵不等式成立
根据引理2，一个有约束的矩阵不等式条件可以转化成没有约束的多项式平方和矩阵，同时可以通过等价变换用SOS条件来替代LMI矩阵非负定条件。一般地说，半定规划的LMI约束是非线性和非光滑的，但却是凸的。若半定规划的最优解存在，则在可行集的边界上一定存在一个最优解，同时可利用SOSTOOLS工具箱优化求解得到最优的H∞性能指标？酌，使得控制器的求解问题得到简化[10]。
定理1针对式所描述的各设计点LPV子系统，设v=[v1，…，v2n]T是由任意变量组成的向量，如果存在多项式矩阵M（？兹）以及矩阵N，满足以下条件
（1）一组多项式矩阵 为SOS矩阵，式中，
（2）多项式vTNv为SOS多项式。
3 航空发动机增益调度控制
3.1 增益调度控制器设计
针对某型涡扇发动机为研究对象，对高压转子转速设计控制器，在不同飞行状态选取工作点，将高压转子转速作为调度参数，利用雅可比线性化得到各设计点的线化模型，再利用多项式拟合的方法建立LPV模型。根据控制系统的设计需求，对模型变量作如下选择。将高压转子转速nH和低压转子转速nL作为系统状态变量，输出量为高压转子转速，控制量Wf为主燃烧室供油量。采用相似归一化参数，将发动机状态变量模型表述为
其中a11，a12，a21，a22，b1，b2为调度参数？兹的多项式。求解控制器K12i（？兹）为2阶多项式表示形式。
3.2 基于gap-metric的控制器切换
间隙度量是表征系统广义距离的一种度量，体现了两个系统之间的差异程度，距离越小则用相同的控制器对两个系统的控制效果越接近[11]。利用间隙度量求得实际系统和设计点的子系统差异，再决定切换至哪个控制器，有利于降低控制器保守性，提高控制性能。设P1、P2为两个维数相同的系统开环传递函数，（N1，M1）和（N2，M2）分别为P1、P2的规范右互质分解，则定义P1、P2的间隙度量为
4 仿真分析
4.1 设计点控制器仿真
将H=0，Ma=0设计点的子控制器代入到如图1所示控制结构中，给定高压转子工作转速nH=0.88，2.5s后给定控制指令nH=0.94，闭环系统的状态响应和控制输出响应如图2所示。
4.2 切换控制器仿真
由于发动机起飞状态与巡航状态工作系统特性差异具有代表性，这里采用工作点1（H=0，Ma=0）与工作点4（H=5，Ma=0.5）作为设计点设计子系统控制器，航空发动机从工作点2变化到工作点3状态时，通过计算间隙度量，系统从和工作点1相似度较高变为同工作点4相似度较高，此时切换为设计点4控制器来进行高压转子转速控制，由于两个子控制器基于公共Lyapunov函数设计，从而能够保证闭环系统稳定。在高压转子转速为nH=0.88时给定控制目标指令为nH=0.94，在工作点3分别采用工作点1控制器和工作点4控制器的控制效果对比如图3。
可以看出，对工作点采用gap度量较小的设计点子控制器具有更快的响应速度和更好的控制效果。
5 结束语
本文考虑航空发动机高压转子转速变化对系统带来的影响，采用多项式形式描述的系統模型提高模型精度，并利用多项式平方和规划方法和间隙度量相结合，在不同高度和马赫数的工况下，对航空发动机高压转子转速进行控制。这种方法可以处理多项式描述的LPV系统，无需将LPV系统转化成仿射参数依赖形式或多胞模型，并利用SOS工具箱在不同设计点设计具有公共Lyapunov函数的子系统控制器，保证了切换稳定性，同时可以在不同工作点都具有良好的控制性能。
参考文献
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