徐明坤+丁斯昊+尚孟瑶
摘 要：针对陀螺转子偏转角的测量，采用降维分析的方法，建立了静态模型与动态模型。首先根据空间几何关系和坐标变换原理得出陀螺转子相关参数间的关系式，基于此推导出具有垂直关系的两个低维度偏转角测量公式，合成偏转角在三维空间中关于占空比的二元关系式；并对线性关系的条件进行了仿真分析，发现方位角在±30°内一元线性关系良好。此种测量方法便捷、精确度较高，具有一定的应用价值。
关键词：降维分析；静（动）态模型；线性度；MATLAB仿真；占空比
1 概述
从力学角度分析，陀螺转子可近似为绕一定支点的做三自由度运动的刚体，即绕其对称轴高速旋转的飞轮转子。陀螺转子通常采用同步电机、磁滞电机等拖动方法来使其绕自转轴高速旋转，且转速近似为常值。
当陀螺转子以一定的角速度绕其自转轴旋转时，其自转轴在三维空间内相对于原自转轴位置所偏转的角度为偏转角（工程上称为方位角），广泛应用于导弹的离轴发射和制导、雷达搜索及随动、飞机船舶的航向陀螺仪等。因此其测量精度具有至关重要的意义。
典型的陀螺转子成球台结构，在其表面涂覆有黑、白相间的条纹图案，一个黑色条纹和与其相邻的白色条纹为一组条纹，如图1所示。工程上常采用光电传感器测量陀螺转子的方位角，光电传感器可以接收到黑、白条纹所反射的光，由于黑白条纹对信号光的反射率差异，可以定义光电传感器接收到白条纹反射光的时间与接收到该组黑白条纹反射光的时间之比为占空比k。若陀螺转子的自转速度恒定，则占空比可以转换为光电传感器所在的平面与陀螺转子表面相交的交线在白条纹部分的弧长与在该组黑白条纹部分的弧长之比。
2 位标器的分布及基本模型的搭建
2.1 位标器分布模型
考虑到陀螺转子做三自由度的运动，其自转轴在三维空间的偏转角Φ可降成两个维度的分量，那么用一个位标器测量的占空比k必然不能反映偏转角Φ真实值作用，因此在每个独立的维度上放置位标器。为了防止位标器分布造成的微小误差，每个维度上两个方向各放置一个位标器，位于与陀螺转子转轴垂直的同心圆上，如图1所示。
2.2 模型准备
以陀螺转子的球心为坐标原点，自转轴为X轴，建立右手坐标系。
假设在转子表面涂覆的黑、白条纹的数目均为n，则赤道圆上每个黑条纹或白条纹所对应的角度α=π/n；陀螺转子上下表面对应的球心角为Φm，如图2所示（以红色标识白条纹）。弧DBI所在大圆可以看作是过B点的经线圆（即弧ABC所在的大圆）以OB为轴（即Y轴）逆时针旋转β角而得到的，弧DEF所在的大圆可以看作是过B点的经线圆绕X軸顺时针旋转α角而得到的。
当转子以一定的角速度绕其自转轴旋转时，自转轴会随着外界环境以球心为定点发生偏转。若陀螺转子没有发生偏转，四个光电传感器所测得的占空比是相同的；若自转轴发生偏转，则四个传感器所测得的占空比也会发生变化，根据光电传感器测得的占空比即可计算出陀螺转子的偏转角度。
3 陀螺转子参数α、Φm和β之间的关系
模型准备里已提到，弧DBI所在的大圆（设为圆O1）可以看作是过B点的经线圆以OB为轴逆时针旋转β角而得到的，弧DEF所在的大圆可以看作是过B点的经线圆绕X轴顺时针旋转α角而得到的。两圆交点为D，由几何关系：
设过D点的纬度圆为圆O2，在OXYZ坐标系内 ，圆O2的方程为：
圆O1的坐标在OXYZ坐标系内不易直接求出，可以通过坐标变换的方法求出，设OXYZ坐标系以同样的方式旋转β角后得到的新坐标系为OX1Y1Z1，则在新坐标系内，圆O1可以表示为：
根据坐标变换原理，从坐标OXYZ到OX1Y1Z1的坐标变换矩阵可以表示为：
从而：
将式（3）代入式（2）得圆O1在OXYZ坐标系内的公式为：
联立式（4）与式（1），求得D点坐标为：
则有：
4 陀螺转子偏转角测量模型
4.1 静态模型与动态模型的建立
转子偏转角为Φ，但自转轴偏转的方向不定。将偏转角的运动分解为一个自转轴在XOY平面的偏转角为Φ1的运动与一个自转轴在XOZ平面的偏转角为Φ2的运动，Φ1与Φ2所对应的k值由对应的两个相邻的传感器测得。
利用几何关系得Φ、Φ1与Φ2关系为：
Φ1与Φ2的求法相同，下面以求Φ1与占空比k1的关系为例，通过建立静态坐标系与动态坐标系求解。
设转子的自转轴为X'轴，建立右手坐标系O'X'Y'Z'该坐标系不随转子的运动而变，称为静态坐标系。然后z轴不动，以z轴为轴逆时针转过一个角度Φ1，从而z轴与z′轴仍然重合，x轴与y轴相比于X'轴和Y'轴都偏转Φ1角（∠XOX'=∠YOY'=Φ1），此时旋转轴为X轴，坐标系OXYZ与转子固连，称其为动态坐标系。为图示方便，把偏转后的陀螺转子摆正，如图3所示。
陀螺转子的自转速度恒定，则占空比k1可以转换为传感器所在的平面（圆O3）与转子表面相交的交线在白条纹部分（弧MP）的弧长与在该组黑白条纹部分（弧MN）的弧长之比，而弧MP与弧MN均在圆O3上，故弧长之比可等价为弧所对应的圆心角之比。设弧QP在圆O1上对应的圆心角为γ，则：
γ对应弧QP，由几何关系得到，sin？酌=■，问题转化为求出点P的纵坐标。P点坐标可以由弧EPC所对应的圆（设为圆O4）的方程与圆O3所对应的方程联立求得（在同一坐标系下）。
在此过程中，陀螺转子一直以x轴为自转轴高速旋转。联立圆O3、圆O4在OXYZ坐标系内的方程解得交点P的坐标为：
则有：
联立式（7），得：
同理可得Φ2的表达式，联立（6）式，得出Φ与占空比k的解析关系式：
容易知道，偏转角Φ在两个维度的分量只需两个传感器测量即可，对于其余两个传感器，其测量结果是与其在一个条直线上的另一个传感器的测量值之和是1，因为转子关于赤道对称，占空比是互补的，另外两个传感器是起检测作用。
4.2 对Φ关于k是否达到线性关系的分析
将式（5）代入式（10），可得：
式中，φm和α为参数，k1、k2为自变量，Φ为因变量，所得图形应为三维空间中的曲面。现论证是否可以改变参数φm和α使Φ关于k达到线性关系，即观察对应不同的参数，该曲面是否能变成平面。
先从二维角度分析，即仅考虑Φ1与k1的情况，由式（9）（5）可得：
固定α=■，得出Φ1关于k1的曲线，如图4所示。多条曲线中Φ∈[-30°，30°]的部分线性较好，Φm∈（0，30°]时均有良好的线性。测量角φm显然越大越有利于传感器的测量，因此尽可能取更大的值30°。固定φm=30°得出Φ关于k的曲线，可以看出当α≤π/16时曲线基本重合，即此时α的大小对线性基本无影响。但考虑实际情况，n的数目应该适当，且保证传感器对称性，取n=16，即α=π/16。
综上所述，φm=30°，α=π/16可以使Φ关于k达到线性关系。可见，只有在一个维度的测量时，且Φm∈（0，30°]，偏转角分量与该维度的占空比具有良好的线性关系。
5 结束语
本文基于光电传感器的分布测量，采用降维分析的思想，建立了陀螺转子高速旋转下的静态模型与动态模型，给出了陀螺转子相关参数之间明确的关系表达式及偏转角的计算公式。并对偏转角与两个维度的占空比是否成线性关系及线性关系成立的条件进行了分析，得出当Φ∈[-30°，30°]时，线性关系良好。相比电磁线圈法，无论是测量范围还是精度，该方法测量方位角具有较大的优势，具有一定的应用价值。
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